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老油条
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更新:2014/12/31
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最小二乘法公式 加权最小二乘法
在数学函数的研究中，我们常常要描绘很多数据坐标，画出图像然而从图像中发现一些规律。中学生对于这种研究是比较熟悉的，确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在数学上我们称之为“回归分析”。而在回归分析中，最小二乘法则是重要的数学优化技术之一。通过最小二乘法，我们能找到更贴切散点的回归方程。
【1】最小二乘法公式
高中数学比初中数学更难，尤其是回归方程这部分知识，很多同学感到十分困难。其实，在理解的基础上，记住线性回归方程的研究方法，我们就能轻松掌握和简单运用最小二乘法了。最小二乘法公式如下：
a=(Σxy-ΣxΣy/N)/(Σx^2-(Σx)^2/N)
b=y(平均)-a*x（平均）
【2】什么是最小二乘法
最小二乘法有个别名：最小平方法，作为一种数学优化技术，该技术通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
【3】最小二乘法的发现
最小二乘法的提出，是基于一些可靠的规律的。最小二乘法的发现则是因为科学家对天体运动轨迹研究。1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
【4】加权最小二乘法
加权最小二乘法是对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。 |
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